Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ208

Конкурсная задача ММ208 (7 баллов)

От двух до пяти.

Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и Олега Полубасова.

Обсуждение

Участники Марафона, сошедшие с дистанции на отметке ММ206, потихоньку возвращаются. На ММ208 получено 5 откликов. Маловато, конечно. Но, все же не 2, как на ММ206. Тем самым на данном участке дистанции был реализован девиз данной задачи - «От двух до пяти».

Правда, один из участников (к моему удивлению, это был весьма опытный марафонец), не разобрался в условии задачи и призовых баллов не заработал.

ММ208 допускает очевидные обобщения и аналоги по всем параметрам задачи: количество слагаемых; число представлений; максимальное число слагаемых для которых нет взаимной простоты. Мне представляется интересным аналоги и обобщение именно по последнему параметру. Но участники ограничились первыми двумя.

Обоснование минимальности найденного числа в решении Олега Полубасова показалось мне недостаточно строгим. Из его решения не видно, рассматривал ли он наборы попарных делителей, отличные от минимального набора (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29) (1). Между тем, рассмотрение набора (2,3,5,7,11,13,17,19,23,31) (2) необходимо, поскольку наименьшее число, допускающее требуемое представление в помощью данного набора, меньшее чем число 44813, являющееся ответом к задаче.

Составляя данную задачу, я попробовал было подобрать условие так, чтобы разные представления искомого числа отвечали разным наборам попарных НОД. Однако с ходу у меня это не получилось и я оставил условие, приводящее к ответу с представлениями, соответствующими одному набору попарных НОД. Сергей Половинкин нашел наименьшее число, представления которого отвечают разным наборам. Оно оказалось лишь немного больше 44813:
44889=
5642+6783+9614+10695+12155=
5434+7735+8835+9982+12903=
4641+7315+8602+10005+14326=
5187+6545+8294+10005+14858
Первые два представления соответствуют набору (2), вторые два - набору (1).

Существуют три числа, меньшие 44813, допускающие представления в виде сумм, отвечающим разным наборам. Это числа 43467, 43723, 43913. У каждого из них имеется по одному представлению в виде суммы пяти слагаемых, отвечающему каждому из наборов (1) и (2).

Василий Дзюбенко предложил интересный способ конструирования (а не поиска) чисел, допускающих нужное число требуемых представлений. К сожалению, такой подход не приводит к минимальным числам.

Награды

За решение задачи ММ208 Анатолий Казмерчук и Сергей Половинкин получают по 8 призовых баллов, Олег Полубасов - 7 призовых, а Василий Дзюбенко - 5 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 баллов —-

 

 


Страница: [[marathon:problem_208]]

marathon/problem_208.txt · Последние изменения: 2015/11/15 14:43 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006