|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. Математический марафонПродолжается XXVI конкурс в рамках Математического марафона! Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет… Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. Ведущий Марафона — Vladimir letsko Текущие задачиММ255Конкурсная задача ММ255 (7 баллов) Решения принимаются до 04.10.2020 Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. ММ256Конкурсная задача ММ256 (8 баллов) Решения принимаются до 11.10.2020 При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}2 +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах? Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x. ММ257Конкурсная задача ММ257 (9 баллов) Решения принимаются до 18.10.2020 Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237
Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:
Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.
Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека. ММ258Конкурсная задача ММ258 (7 баллов) Решения принимаются до 24.10.2020 Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). ММ259Конкурсная задача ММ259 (8 баллов) Решения принимаются до 31.10.2020
Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть ММ260Конкурсная задача ММ260 (12 баллов) Решения принимаются до 14.11.2020 Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; треугольник KLM подобен треугольнику ABC. Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? Разбор задачММ254Конкурсная задача ММ254 (6 баллов) Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие? Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука. Обсуждение В отличие от прошлой задачи, при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы с пониманием условия и вопроса задачи. И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял, почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи), то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно. Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово «шагов», словом «кругов», поясняя, что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду считать это за ошибку. Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось «может ли площадь кругов превысить 80%», а не «превысит ли»). Теперь о замечаниях, за которые баллы снимались. Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился, что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения. Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов, покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие, я пришел к выводу, что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках Наконец, в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается, но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например, такой «требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге». Анатолий Казмерчук нашел диапазон, в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. Олег Полубасов показал, как приближаться к границам этого диапазона, но не обосновал непреодолимость этих границ. Владислав Франк получил нижнюю границу. Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов, вписанных в углы треугольника, к π/2. Участники поставили передо мной непростую задачу: зачастую те решения, которые содержали обобщения задачи, одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных баллов при одновременном вычитании основных см. ниже. Награды
За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла ММ253Конкурсная задача ММ253 (5 баллов) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB1 перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы? Решение Привожу решения Константина Шамсутдинова (замечательное своей краткостью), Василия Дзюбенко (замечательное своей основательностью), и Анатолия Казмерчука (как всегда, замечательное во всех отношениях). Обсуждение Предлагая эту задачу, я изначально был уверен, что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали. Как выяснилось, зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда, в некоторых из решений по одному (разному) ответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок. Составляя задачу, я долго бился над тем, чтобы оба ответа были «приличными». Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов, то задуманное осуществить удалось. Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте, когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу. Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения. Награды
За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла ММ252Конкурсная задача ММ252 (3 балла)
Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:
90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15; Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Дениса Овчинникова. Обсуждение
На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений, чем на ММ251
Анатолий Казмерчук доказал, что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством. Интересно, является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители. Полагаю, что для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаю, что серий может быть много. Впрочем, это только мои предположения. Награды
За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла ММ251Конкурсная задача ММ251 (3 балла) Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука и Елены Фоминой (новичка Марафона). Обсуждение
Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс «для разогрева», вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов, в том числе у признанных асов.
Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:
Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы, причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью, я, конечно, встречал, но это были отчеты, дипломные работы, диссертации… и ни разу не книги. (Правда, мне указали, что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.) Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу, рассуждали, на мой взгляд, не вполне строго. Например, вывод, что в книге было 100 страниц, сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем, 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц. Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы, а из-за того, что «один» - это не «несколько». Я не стал придираться к этим моментам.
Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков, рассмотревший как классические книжки, так и их альтернативные разновидности. Награды
За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|