|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. Математический марафонПродолжается XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона! Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет… Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. Ведущий Марафона — Vladimir letsko Текущие задачиММ248Конкурсная задача ММ248 (8 баллов) Решения принимаются до 25.10.2019 Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. ММ249Конкурсная задача ММ249 (10 баллов) Решения принимаются до 01.11.2019 Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение xk = a иметь ровно 2020 решений? ММ250Конкурсная задача ММ250 (14 баллов) Решения принимаются до 29.11.2019 Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. Разбор задачММ247Конкурсная задача ММ247 (7 баллов) Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию fk(n)=lcm(n, n+1,…, n+k-1)/lcm(n+1, n+2,…, n+k)} Найти наименьшие значения f5(n) и f9(n). Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука и Анны Букиной. Обсуждение
ММ247 - обещанное продолжение ММ238.
Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей.
Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!)
Поощрения сделаны за некоторые обобщения. Награды
За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла ММ246Конкурсная задача ММ246 (7 баллов) Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? Решение Привожу решения Константина Шамсутдинова, Виктора Филимоненкова и авторское. Обсуждение ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ошибка легко проверяется. Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!). Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами. Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника. К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один с разрезами,исходящими из одной вершины.
К вопросу о красоте. Награды
За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла ММ245Конкурсная задача ММ245 (5 баллов) В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой (оба, как обычно, подробные, с чертежами) и Виктора Филимоненкова (как обычно, краткое, хотя и не самое краткое). Обсуждение ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, недостаточной аккуратности. Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто «найти отношение площадей», а не «найти отношение площади первого к площади второго». Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом, чтобы ответ стал единственным. У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал. Награды
За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ММ244Конкурсная задача ММ244 (6 баллов)
Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку: Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука и Константина Шамсутдинова. Обсуждение
ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.
Тем самым, трудности возникли уже у ведущего: Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях. Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори. Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления… и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения). Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать и я). На FB можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье). Награды
За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла ММ243Конкурсная задача ММ243 (5 баллов)⊥ В треугольнике ABC a<b<c и a⋅la=c⋅lc Найти угол β. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой и Анны Букиной (только они не поленились сделать чертежи). Еще одно решение (Виктора Филимоненкова) - пример одного из наиболее кратких решений Обсуждение
Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.
Зато присланные решения довольно разннобразны. Награды
За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла ММ242Конкурсная задача ММ242 (5 баллов)
На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука и Валентины Колыбасовой. Обсуждение Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал. Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина «округление». Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет…
Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n: Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием. Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом. Награды
За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла ММ241Конкурсная задача ММ241 (4 балла) При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? Решение Привожу решения Александра Домашенко и Валентины Колыбасовой. Обсуждение На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.
Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.
Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3.
Участники разделись на 3 категории: Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но… В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений. Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались). Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми). Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач. Награды
За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|