• Правила марафона
• Рейтинг участников
• Архив Марафона

Стартовал XXVI конкурс в рамках Математического марафона!

Активная фаза (разбор задач), как обычно, начнется осенью. Но решения можно (и нужно) присылать прямо сейчас.

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.

Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Конкурсная задача ММ251 (3 балла)

Решения принимаются до 05.09.2020

Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n –наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.

Конкурсная задача ММ252 (4 балла)

Решения принимаются до 12.09.2020

Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:
90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15;
90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, 2+5+9=3+3+10.
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p^kq (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.

Конкурсная задача ММ253 (5 баллов)

Решения принимаются до 19.09.2020

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB₁ перпендикулярно ему имеет площадь 28✔(39)/81. Найти объем призмы?

Конкурсная задача ММ254 (6 баллов)

Решения принимаются до 26.09.2020

Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?

Конкурсная задача ММ255 (7 баллов)

Решения принимаются до 04.10.2020

Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.

Конкурсная задача ММ256 (8 баллов)

Решения принимаются до 11.10.2020

При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}² +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?

Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x.

Конкурсная задача ММ257 (9 баллов)

Решения принимаются до 18.10.2020

Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237

Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:

Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.
Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.
Даня: А еще среди связных компонент не было изоморфных.
Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.
Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.
Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.
Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.
Лина: И при этом не было висячих вершин.
Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.

Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.
Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?

Конкурсная задача ММ258 (7 баллов)

Решения принимаются до 24.10.2020

Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).

Конкурсная задача ММ259 (8 баллов)

Решения принимаются до 31.10.2020

Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть
a) равновелик;
б) подобен;
в) равен
исходному?

Конкурсная задача ММ260 (12 баллов)

Решения принимаются до 14.11.2020

Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231

Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; треугольник KLM подобен треугольнику ABC. Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?

Конкурсная задача ММ250 (14 баллов)

Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Константина Шамсутдинова, Анатолия Казмерчука и авторское.

Обсуждение

При составлении задач XXV конкурса в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.
Придумав (но еще не решив) обсуждаемую задачу, я полагал, что она не тянет на заключительную. Почему? Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14. Существование подходящего многогранника легко обосновывается. Остается проверить, что многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, что сумма длин диагоналей меньше суммы длин ребер, потребовало некоторых ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний случай. И… тут я понял, что задача вполне годится для юбилейной. Решение стало в разы короче, а подходящий ответ - единственным!

Как обычно, последний (и самый трудный) участок дистанции дался не всем. Поступило всего 5 решений ММ250, из которых верны лишь 4.

«Ощущая дыхание в спину» со стороны преследователей Анатолий Казмерчук мощно спуртовал, рассмотрев несколько аналогов задачи.
Не исключено, что не меньше красот имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц: без единого рисунка (для сравнения - у Анатолия, кроме чертежей в основном тексте, имеется приложение с тремя десятками рисунков); с многочисленными формулами, набранными обычным текстом; массой собственных обозначений, отличных от стандартных; списком опечаток на страницу, присланным отдельно…
Точнее, удалось, но лишь настолько, чтобы понять, что задача решена и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника.

В конце решения Анатолия Казмерчука имеется отсылка к плоскому аналогу задачи. Приведенные там рассуждения, по сути, повторяют решение MM2. Было бы красивее, если бы ММ1, но составляя ММ1 (как, впрочем, и ММ2) я еще не задумывался над ММ250.

Награды

За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 17;
Мераб Левиашвили - 15;
Константин Шамсутдинов - 15;
Виктор Филимоненков - 14;
Владислав Франк - 6.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов

Конкурсная задача ММ249 (10 баллов)

Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x^k=a иметь ровно 2020 решений?

Решение

Привожу решения Мераба Левиашвили, Константина Шамсутдинова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах. В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако, на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин, ни Анатолий темп не снижали.

Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом )). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение, меня поймут. Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249.

Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.

Награды

За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 15;
Константин Шамсутдинов - 12;
Анатолий Казмерчук - 12;
Виктор Филимоненков - 10;
vpb - 10;
Владислав Франк - 9.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов

Конкурсная задача ММ248 (8 баллов)

Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.

Решение

Привожу решения Владислава Франка, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова. (Решение Анатолия Казмерчука, как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.)

Обсуждение

ММ248 далась не всем конкурсантам. Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,…} ровно один элемент - двойка! Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко. В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).

К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число. (Хотя нельзя исключить, что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)

Награды

За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Владислав Франк - 9; vpb - 9; Анатолий Казмерчук - 8; Константин Шамсутдинов - 8; Виктор Филимоненков - 8; Мераб Левиашвили - 8; Александр Домашенко - 3; Владимир Дорофеев - 1; Анна Букина - 1.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов

Конкурсная задача ММ247 (7 баллов)

Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f_k(n)=lcm(n, n+1,…, n+k-1)/lcm(n+1, n+2,…, n+k)} Найти наименьшие значения f₅(n) и f₉(n).

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Анны Букиной.

Обсуждение

ММ247 - обещанное продолжение ММ238. Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей. Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!) Поощрения сделаны за некоторые обобщения.
Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. Ограничились
Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):
Сколько целых значений принимает f_k(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f₅(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f_k(n))) целых значениях f_k(n) не подтвердилась)
Ясно, что каждое свое значение f_k(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?

Награды

За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9;
Владислав Франк - 9;
Константин Шамсутдинов - 9;
Владимир Дорофеев - 8;
Анна Букина - 7;
Мераб Левиашвили - 7;
Валентин Пивоваров - 6;
Александр Домашенко - 6;
waxter - 6;
Виктор Филимоненков - 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

Конкурсная задача ММ246 (7 баллов)

Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова, Виктора Филимоненкова и авторское.

Обсуждение

ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ошибка легко проверяется. Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!).

Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.

Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника. К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа

Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один с разрезами,исходящими из одной вершины.

К вопросу о красоте.
ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.
Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.
Часто наличие нескольких, а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного. Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. Например, два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. А для разносторонних, попавших в ответ это не так. Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.
Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.

Награды

За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Александр Домашенко - 7;
Анатолий Казмерчук - 7;
Константин Шамсутдинов - 7;
Мераб Левиашвили - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Валентина Колыбасова - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Владислав Франк - 5;
Анна Букина - 5;
Владимир Дорофеев - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла