|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. Математический марафонПредлагаю вашему вниманию задачи очередного XXVII марафонского конкурса! Напоминаю, что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году, покажет время. Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет… Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. Ведущий Марафона — Vladimir letsko Текущие задачиВектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f3, f4, …, fs], где fi – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(fi) = m. ММ270Конкурсная задача ММ270 (16 баллов) Решения принимаются до 22.05.2021 Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. Разбор задачММ269Конкурсная задача ММ269 (11 баллов)
Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Константина Шамсутдинова. Обсуждение Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы Награды
За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла ММ268Конкурсная задача ММ268 (9 баллов) Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова (для поклонников сестры таланта), Анатолия Казмерчука и Мераба Левиашвили. Обсуждение К устаканившемуся составу конкурсантов присоединился еще один участник. Точнее, это они к нему присоединились: Михаил Ватник прислал свое решение ММ268 сразу после обнародования задач XXVII конкурса. Больших затруднений задача не вызвала (вопреки тому, что казалась мне непростой). Мне понравился ответ к этой задаче. Набор 4, 8, 13 на первый взгляд кажется случайным. И лишь при погружении в задачу становится ясно, что это уменьшенные на 2 треугольные числа.
Влад Франк отметил и обосновал интуитивно очевидный факт: для подходящих достаточно больших чисел количество представлений может быть сколь угодно большим. Награды
За решение задачи ММ268 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4 балла ММ267Конкурсная задача ММ267 (7 баллов) Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова (с примером, добавленным Виктором по моей просьбе), Анатолия Казмерчука и Александра Романова. Обсуждение
В условие ММ267 ведущим (неосознанно) была заложена (очередная) логико-лингвистическая бомба. Итак, в чем же уверен Петя?! В большинстве решений строилась биекция между множествами представлений. При этом одни конкурсанты строили биекцию между исходными множествами, другие - между их дополнениями, третьи - между теоретико-множественными разностями исходных множеств. В приводимых решениях отражены и иные подходы. Я не поощрял дополнительными баллами очевидные обобщения, в которых 3 заменено произвольным натуральным числом. А вот более хитрые изыскания Мераба и Анатолия отметил. Награды
За решение задачи ММ267 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла ММ266Конкурсная задача ММ266 (7 баллов)
Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта: Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. Решение Привожу решения Василия Дзюбенко, Анатолия Казмерчука и Мераба Левиашвили. Обсуждение
Вскоре после опубликования условий задач XXVII Марафонского конкурса Олег Полубасов поднял вопрос о неоднозначности ответа в ММ266. Тут бы ведущему и проверить условие еще раз.
Но события развивались по другому сценарию. Ведущий, используя аргументацию с стиле Паниковского («А какие же они по-вашему?!») сумел переубедить Олега столь радикально, что тот уменьшил количество решений до одного.
Обобщать задачу взялись два конкурсанта. Причем в принципиально разных (перпендикулярных) направлениях. Награды
За решение задачи ММ266 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ММ265Конкурсная задача ММ265 (5 баллов) Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. Решение Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Василия Дзюбенко. Решение Мераба Левиашвили доступно на https://dxdy.ru/post1513965.html#p1513965 Обсуждение Задача не вызвала затруднений у конкурсантов. И в целом понравилась им (больше чем ведущему). Многие участники не ограничились решением базовой задачи, но и обобщили результаты.mm265_polubasoff.pdf Так, Васлий Дзюбенко и Анатолий Казмерчук рассмотрели минимальные количества «бесподобных» прямоугольных треугольников, на которые могут быть разрезаны треугольники произвольного вида. Оказалось, что наряду с правильными этот минимум равен 4 для тупоугольных равнобедренных треугольников (тот же результат без обоснования указал Владимир Дорофеев). Обобщения от Олега Полубасова и Мераба Левиашвили были с связаны с разрезанием правильных многоугольников с бОльшим числом сторон. И поставили перед ведущим целый ряд проблем по оцениванию их достижений. Так, Мераб не нашел разрезания квадрата на 5 треугольников, но при этом смог достичь результата 2n-3 чля четных n>6 (у Олега 2n-2). C другой стороны, Олег и не утверждал, что его результаты окончательны, А Мераб назвал результат 6 для квадрата «абсолютным минимумом». После некоторых размышлений я поощрил Олега и Мераба равным количеством баллов. Возвращаясь к базовой задаче отмечу симпатичное разрезание правильного треугольника, в котором все углы всех треугольников образуют арифметическую прогрессию с шагом 10^o. Большинство конкурсантов привели в качестве примера именно его. Награды
За решение задачи ММ265 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла ММ264Конкурсная задача ММ264 (4 балла)
Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар. (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) Решение Привожу решения Олега Полубасова и Мераба Левиашвили. Обсуждение
Рекордно низкая эстетическая оценка ММ264 могла бы быть значительно выше. Самые низкие оценки сопровождались приписками, что они могут быть существенно повышены, если будет предъявлен способ конструирования аддитивных пар, не основанный на переборе. Впрочем, сами строгие оценщики не верили в существование такого решения. Награды
За решение задачи ММ264 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 3.1 балла ММ263Конкурсная задача ММ263 (4 балла)
Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c? ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) ММ262Конкурсная задача ММ262 (3 балла) Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ ММ261Конкурсная задача ММ261 (4 балла) Натуральные числа 1, 2, 3, …, 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|