Архив Марафона. Задачи 1-60

Конкурсная задача №10(60) (12 баллов)

Триша Тройкин, Петя Пятаков и Сёма Семак пытаются сконструировать собственный генератор псевдослучайных чисел.
Для этого они взяли натуральные числа a и m (одни и те же у всех троих) и выстраивают последовательность по правилу: xn+1 = (xn*a) mod m.
Начав с некоторого x1, Триша посчитал x2, x и x. Но x4 оказалось равно x1. Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x1. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату.
Петя совершил пять попыток подобрать x1. Но всякий раз получал новые циклы длины 5.
Наиболее упорным оказался Сёма. Он совершил семь попыток. И получил семь циклов длины 7.
При каком наименьшем m могла возникнуть такая ситуация?

Разбор задачи №60

Конкурсная задача №9(59) (8 баллов)

Сколько существует гомоморфизмов из кольца классов вычетов по модулю m в кольцо классов вычетов по модулю n?

Разбор задачи №59

Конкурсная задача №8(58) (8 баллов)

Обозначим через T(n) количество треугольников периметра n с целочисленными длинами сторон.

1) Конечно ли множество таких n, которые делят T(n)?
2) Конечно ли, множество таких n, при которых T(n) является полным квадратом?
3) Какие n встречаются чаще: те, при которых T(n) кратно 173, или те, при которых T(n) кратно 211?

Разбор задачи №58

Конкурсная задача №7(57) (10 баллов)

Назовем многоугольник регулярным, если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон регулярного многоугольника.

1) На сколько частей разбивают диагонали регулярный многоугольник?
2) Верно ли, что при фиксированном n среди частей, на которые разбивается диагоналями регулярный многоугольник всегда одно и тоже число треугольников?
3) При каком минимальном n в разбиении регулярного многоугольника может получиться восьмиугольник?
4) Существует ли регулярный многоугольник, в разбиении которого получается больше пятиугольников, чем треугольников?
5) При каких n существуют разбиения регулярного многоугольника, содержащие только треугольники и четырехугольники?

Разбор задачи №57

Конкурсная задача №6(56) (12 баллов)

Назовем трехпарным число, допускающее представление в виде суммы трех взаимно простых натуральных слагаемых, любые два из которых не взаимно просты. Конечно ли множество натуральных чисел, не являющихся трехпарными?

Разбор задачи №56

Конкурсная задача №5(55) (7 баллов)

Через точку внутри тетраэдра провели 4 плоскоски, параллельные граням. На сколько частей разобъется тетраэдр? (1 балл)
Какой наименьший объем может иметь тетраэдр, если объемы частей попарно различны и целочисленны? (6 баллов).

Разбор задачи №55

Конкурсная задача №4(54) (3 балла)

Доказать, что максимум площадей четырехугольников со сторонами a, b, c, d не зависит от порядка следования сторон.

Разбор задачи №54

Конкурсная задача №3(53) (8 баллов)

Найти самое маленькое число, допускающее представление в виде суммы шести слагаемых, обладающее следующими свойствами:
1) каждое слагаемое является натуральным числом;
2) любые два слагаемых не взаимно просты;
3) любые три слагаемых взаимно просты;
4) сумма любых четырех слагаемых кратна 4;
5) сумма любых пяти слагаемых кратна 5.

Разбор задачи №53

Конкурсная задача №2(52) (11 баллов)

Конечно ли множество натуpальных чисел m таких, что количество обpатимых элементов в кольце классов вычетов по модулю m pавно количеству квадpатов в том же кольце?

Разбор задачи №52

Конкурсная задача №1(51) (3 балла)

1) Какое наибольшее (при данном n) число можно получить, расставляя скобки в выражении 1:2:3:...:n? (1 балл)
2) Верно ли, что для любого положительного рационального числа a существуют такое n и такой способ расстановки скобок, что значение выражения 1:2:3:...:n станет равным а? (2 балла)
Разбор задачи №51

Конкурсная задача №10(50) (13 баллов)

Эта задача является прямым продолжением и обобщением задачи №13

Зададим на множестве V = {1,2,3,...,n} структуру графа, полагая, что вершины x и y из V смежны тогда и только тогда, когда
¦x-y¦=u или ¦x-y¦=v, где u и v - некоторые фиксированные (для данного графа) натуральные числа (u меньше v). Полученный граф обозначим G(u,v,n).

1. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы граф G(u,v,n) был:
1.1) связен;
1.2) цепью;
1.3) циклом;
(3 балла)

2. Пусть 2u < v, НОД(u,v) = 1, u+v - нечетно. Доказать, что найдется такое n0, что для всех n > n0 граф G(u,v,n) - гамильтонов (т.е. в нем есть простой цикл, содержащий все вершины).
(10 баллов)

Разбор задачи №50

Конкурсная задача №9(49) (3 балла)

Для каждого натуpального числа a, чеpез m(a) обозначим мощность множества {HОД(x12, x+a) ¦ x in N}.
Решить в натуральных числах уравнение: m(a) = a

Разбор задачи №49

Конкурсная задача №8(48) (7 баллов)

Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть "правильной", если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир с правильной таблицей также будем называть "правильным".

1) Гросмейстер Грустин Попалов выиграл в правильном турнире больше партий, чем каждый из других участников. На каком месте мог он оказаться в итоге, если в турнире участвовало n шахматистов?
(2 балла)

2) Гроссмейстер Миорюлюб Миролюбов шесть лет подряд играл в однокруговых рождественских турнирах в городе Зейк-ан-Вее. Каждый год он завершал все свои партии вничью, но год от года занимал все более высокое место. В каждом турнире было n участников и все они были правильные. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?
(2 балла)

3) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбов, сыграв вничью, все партии правильного турнира при n участниках.
Найти явное выражение для d(n). (3 балла)

Разбор задачи №48

Конкурсная задача №7(47) (4 балла)

В разностороннем треугольнике ABC провели биссектрису AD. При этом оказалось, что длины всех сторон треугольников ABD и ACD целочисленны. При каком наименьшем периметре треугольника ABC возможна такая ситуация?

Разбор задачи №47

Конкурсные задачи №№5,6(45,46) (30+x баллов)

Функция f(n) задается так: Натуральные числа от 1 до n расставлены по кругу. Начинаем отмечать числа 1, 2, 4, 7, 11, 16 и т.д. Значением f(n) будет то число, которое первым будет отмечено повторно.
46.0) Доказать, что существует бесконечно много n, для которых f(n) = 500501. (5 баллов)
46.1) Найти явную формулу для f(3k). (4 балла)
46.2) Описать все такие n, для которых f(n) определяется на n+1-вом шаге, (т. е. все числа будут отмечены по разу, прежде чем какое-то будет отмечено повторно). Найти явное выражение f(n) для таких n. (4 балла)
46.3) Доказать, что на множестве нечетных простых чисел f(n) инъективна (т.е. f(p) не может равнятся f(q), если p и q - различные нечетные простые числа). (7 баллов)

45.2) Верно ли, что для любого натурального m найдется n такое, что f(n) = m?
45.3) Верно ли, что существует бесконечно много таких n, для которых f(n) = n?

Разбор задач №№45,46

Конкурсная задача №4(44) (3 балла)

Решить в натуральных числах:
xy = (x + y)x (1)

Разбор задачи №44

Конкурсная задача №3(43) (3 балла)

Эта задача предложена для марафона Владиславом Франком.

В вагоне экспресса Дакс-Бордо n мест.
Человек заходит в вагон, имея билет без места. Он знает, что в вагоне свободно ровно одно место. Садится на произвольное. Потом начинают заходить пассажиры, знающие, где они должны сидеть. Иногда его сгоняют и он пересаживается на произвольное оставшееся место. И так пока вагон не заполнится.
Найти матожидание числа пересадок.

Разбор задачи №43

Конкурсная задача №2(42) (3 балла)

Вновь муха и тетраэдр.

На этот раз правильный тетраэдр со стороной в 1 метр поставили на плоскость, а точечных размеров муха ползет от одной из вершин основания так, что угол наклона ее траектории к плоскости основания остается постоянным и равняется arcsin Ö(2/21).
Какое расстояние преодолеет муха, когда она доползет до вершины тетраэдра?
Сколько раз муха пересечет ребра тетраэдра к тому моменту, когда позади останется 90% пути?

Разбор задачи №42

Конкурсная задача №1(41) (3 балла)

Двое играют в такую игру:
Игроки A и B выставляют на кон по банкноте одинакового достоинства, на каждой из которых имеется семизначный номер. Игроки сравнивают соответствующие (стоящие в одинаковых позициях) цифры номеров. Если i-я цифра на банкноте игрока A больше i-й цифры на банкноте B, то A получает зачетный балл.
Побеждает (и забирает банкноту противника) тот, кто наберет больше зачетных баллов. В случае равенства баллов игроки остаются при своих.
Например, если у A номер банкноты 4987200, а у B - 4007311, то со счетом 3:2 победит B.
Какую наименьшую сумму цифр может иметь номер банкноты, для которой математическое ожидание выигрыша положительно?

Разбор задачи №41

Конкурсная задача №10 (40) (4 балла)

Правильный тетраэдр со стороной в 1 метр находится в подвешенном состоянии. На одну из его вершин села муха точечных размеров и поползла по прямой по грани (не ребру) тетраэдра. С грани на грань муха переползает так, что на развертке тетраэдра ее путь оставался бы прямолинейным. Преодолев расстояние в целое число метров, не превосхдящее десяти, муха вновь оказалась в вершине. Сколько метров проползла муха и сколько раз побывала при этом на грани, с которой начала движение?

Разбор задачи №40

Конкурсная задача №9(39) (8 баллов)

Эта задачка перекликается с задачей №29.
В качестве основания системы счиления рассматриваются натуральные числа, большие 1.

Назовем число 'полукубическим', если, приписывая его себе, получим куб некоторого натурального (натуральный ряд начинается с 1).
1) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют полукубические числа. (1 балл)
2) Привести пример таких a и g, что в системе счисления с основанием g число a будет трехзначным полукубическим числом. (2 балла)
3) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют двузначные полукубические числа. (5 баллов)

Разбор задачи №39

Конкурсная задача №8(38) (3 балла)

Обозначим через f(n) количество последовательностей длины n из нулей, единиц и двоек таких, что никакие две единицы и никакие две двойки не могут стоять в них подряд.
Найти явную формулу для f(n).

Разбор задачи №38

Конкурсная задача №7(37) (13 баллов)

Монетный двор Дурляндии чеканит монеты трех достоинств: 6, 10 и 15 дурок.
1) Некоторые суммы (в целое число дурок) в принципе не могут быть набраны дурляндскими монетами. Какова максимальная из них? (2 балла);
2) Доказать, что два дурляндца, в кошельках которых достаточно монет подходящих достоинств, всегда смогут осуществить взаиморасчет с точностью до одной дурки (1 балл);
3) Обобщить 1-й пункт задачи на случай монет достоинством в ab, ac и bc дурок, где a, b и c - попарно взаимно простые натуральные числа (5 баллов);
4) Обобщить 3-й пункт задачи на случай монет достоинством в
a1a2...an-2an-1, a1a2...an-2an,...,
a1a3...an-1an, a2a3...an-1an дурок, где a1, a2, ...an
- попарно взаимно простые числа. (5 баллов).

Разбор задачи №37

Конкурсная задача №6(36) (5 баллов)

Функция f сопоставляет каждому натуральному числу n сумму остатков от деления n на все натуральные числа, меньшие n.
1) описать все такие n, для которых f(n) = n; (2 балла)
2) Доказать, что для любого натурального k f(2k) = f(2k - 1). (3 балла)

Разбор задачи №36

Конкурсная задача №5(35) (5 баллов)

Васе и Пете задали задачку:
"В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого угла. В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Найти их радиусы."
Васе и Пете были известны конкретные числовые значения a и b.
У Васи получились ответы 3 и Ö3, а у Пети - 2 и Ö2.
Кто из них ошибся?

Разбор задачи №35

Конкурсная задача №4(34) (4 балла)

Последовательность задана рекуррентно:
f(0) = 0, f(n+1) = (3f(n) + Ö (5f(n)2 + 4))/2
Доказать, что она целочисленная.

Разбор задачи №34

Конкурсная задача №3(33) (10 баллов)

Пусть E, F, G и H - середины сторон BC, CD, DA и AB четырехугольника ABCD, а K, L, M и N - точки пересечения прямых AE и BF, BF и CG, CG и DH, DH и AE соответственно. Назовем четырехугольник KLMN сопутствующим четырехугольником четырехугольника ABCD.

Пусть, далее, ABC - некоторый треугольник.
Описать геометрическое место точек D таких, что сопутствующий четырехугольник четырехугольника ABCD - трапеция.

Разбор задачи №33

Конкурсная задача №2(32) (3 балла)

Рассмотрим векторы, координаты которых в некотором ортонормированном базисе n-мерного пространства представляют собой перестановки множества {1, 2,.., n}. Каким может быть максимальный угол между такими векторами?

Разбор задачи №32

Конкурсная задача №1(31) (7 баллов)

Пусть Sn - симметрическая группа (т.е. группа, образованная всеми биекциями множества {1, 2,..., n} на себя относительно операции композиции) и On - множество порядков всех элементов Sn.
1) Могут множества On совпадать при различных n? (2 балла)
2) Найти наименьшее n такое, что максимальные элементы множеств On и On+3 равны. (5 баллов)

Разбор задачи №31

Конкурсная задача №10(30) (3 балла)

Доказать, что для любого натурального числа n, можно подобрать множество M из n (разумеется, попарно различных) натуральных чисел таких, что сумма чисел из любого непустого подмножества M не является квадратом натурального числа.

Разбор задачи №30

Конкурсная задача №9(29) (7 баллов)

Назовем натуральное число 'полуквадратным', если приписывая это число само к себе, получим квадрат натурального числа.
1) существуют ли полуквадратные числа в десятичной системе счисления? (2 балла)
2) для каких g (натуральных, больших 1) в системе счисления с основанием g существуют полуквадратные числа? (5 баллов)

Разбор задачи №29

Конкурсная задача №8(28) (5 баллов)

Васе Пупкину задали задачку:
'В квадрат с целочисленной стороной a вписан правильный треугольник, площадь которого также выражается целым числом. Найти площадь треугольника.'
Вася (которому число a было известно) выяснил, что задача имеет единственное решение, и имела бы единственное решение и для квадрата со стороной 2a.
Чему равна площадь треугольника?

Разбор задачи №28

Конкурсная задача №7(27) (12 баллов)

Эта задача перекликается с задачей №9 и отчасти с задачами №11 и №7.

Граф G задан на множестве V = {1, 2,..., n} по правилу:
вершины a и b соединены ребром, если a+b есть квадрат натурального числа.

При каком наименьшем n в G есть:
1) циклы?
2) циклы четной длины?
3) четырехвершинная клика?
4) Те же вопросы, что и в п.п. 1-3, для графа заданнного на множестве V по правилу:
вершины a и b соединены ребром, если a+b есть куб натурального числа.

Напомню, что клика - это такое подмножество вершин графа, что любые две из них соединены ребром.

Разбор задачи №27

Конкурсная задача №6(26) (9 баллов)
Описать все натуpальные n, для котоpых задача "Hайти все натуpальные k, кpатные t, и имеющие pовно n натуpальных делителей" (*) имеет единственное pешение, если:
1) t = n;
2) t = 2n;
3) t = n2.

Разбор задачи №26

Конкурсная задача №5(25) (4 балла)

Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры?

Разбор задачи №25

Конкурсная задача №4(24) (8 баллов)

Описать г.м.т, равноудаленных от:
1) плоскости и не принадлежащей ей точки;
2) прямой и не принадлежащей ей точки;
3) двух пересекающихся прямых;
4) двух скрещивающихся прямых;
5) плоскости и перперндикулярной к ней прямой;
6) плоскости и наклонной к ней прямой.

(Во всех пунктах рассмотрение проводится в трехмерном евклидовом пространстве. Для описания достаточно указать тип возникающей поверхности и ее расположение по отношению к заданным объектам.)

Разбор задачи №24

Конкурсная задача №3(23) (8 баллов)

Верно ли, что у любого тетраэдра есть сечение, являющееся:
а) параллелограммом;
б) ромбом;
в) прямоугольником;
г) квадратом;
д) трапецией;
е) равнобочной трапецией;
ж) равнобедренным треугольником;
з) правильным треугольником?

(Под тетраэраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.)

Разбор задачи №23

Конкурсная задача №2(22) (6 баллов)

У одного султана было два мудреца Али и Вали. В очередной раз обеспокоившись, не зря ли они едят свой хлеб с шербетом, султан вызвал мудрецов и сказал:
- Прошлый раз вы успешно выдержали испытание, разгадав задуманные два числа. Но он было слишком легким. На этот раз я задумал три разных числа от 1 до 9. Али я сообщу их произведение, а Вали их сумму. После этого вы должны будете разгадать эти числа.
Узнав произведение и сумму, мудрецы, как обычно, сначала задумались, а затем разговорились.

А: Эх, если бы чисел как и в прошлый раз было два, я бы уже знал их. Но сейчас я их не знаю.
В: Я тоже пока не знаю этих чисел.
А: Зато я знаю их!

Что это за числа?

Разбор задачи №22

Конкурсная задача №1(21) (10 баллов)

Доказать, что уравнение x12 + x23 + ... + xn-2n-1 = xn-1n (*) имеет бесконечно много решений в натуральных числах:
a) при любом нечетном простом n (4 балла);
б) при n=9 (6 баллов).

Разбор задачи №21

Конкурсная задача №10(20) (6 баллов)

Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба.

Разбор задачи №20

Конкурсная задача №9(19) (6 баллов)

Функция f(x) задана кусочно по правилу:
f(x) = 4x+4 при x <= -1;
f(x) = 0 при -1 < x <= 1;
f(x) = x-1 при 1 < x <= 2;
f(x) = 3-x при x > 2.
Задать f(x) с помощью одного выражения, используя только знаки арифметических действий и абсолютной величины (разумеется значок 'x' и числовые коэффициенты тоже можно использовать).

Разбор задачи №19

Конкурсная задача №8(18) (3 балла)

Найти все простые p, такие что числа 2p3+6p2+2p+3, 4p3+10p2+2p+9, 5p3+10p2+2p+12, 5p3+8p2+7p+5 просты.

Разбор задачи №18

Конкурсная задача №7(17) (5 баллов)

Путник, оказавшийся на остpове, где живут pыцаpи (всегда говоpят пpавду) и лжецы (всегда вpут) встpетил гpуппу туземцев из семи человек. Hа плащах у туземцев кpасовались буквы A, B, C, D, E, F и G (по одной на каждого абоpигена).
Hа вопpос стpанника о возpасте их вождя (в дальнейшем для кpаткости он обозначен буквой n) туземцы пpоизнесли следующее:
A: Если n < 60, то я pыцаpь.
B: Если F - pыцаpь, то я лжец.
C: G - лжец, а n+4 - составное.
D: То, что я лжец, pавносильно тому, что С - лжец.
E: C - лжец или n+2 - составное.
F: Если E - pыцаpь, то n - составное.
G: A - pыцаpь или n+32 - составное.
Сколько лет вождю?

Разбор задачи №17

Конкурсная задача №6(16) (8 баллов)

Эта задача перекликается с задачей №15
Вновь рассматриваются перестановки множества {1,2,...n}.
Назовем перестановку правильной, если она не оставляет на месте ни одного элемента множества {1,2,...n}. Сколько существует правильных перестановок для n=20?

Разбор задачи №16

Конкурсная задача №5(15) (9 баллов)

В качестве вводной предлагается задачка из конкурса 'Кенгуру' 1998 года:
Мама печет 6 пирогов: сначала пирог с абрикосами (А), потом с брусникой (Б), с вишней (В), с грибами (Г), с джемом (Д) и с ежевикой (Е). Пока она этим занимается, на кухню иногда забегают дети и каждый раз съедают самый горячий пирог. В каком порядке не могли быть съедены пироги?
1) АБВГДЕ; 2) АБДГВЕ; 3) ВБДГЕА; 4) ГДЕБВА; 5) ЕДГВБА.
(1 балл)

А теперь основная часть задачи:
Назовем перестановку множества {1,2,...,n} возможной, если она удовлетворяет условию вводной задачки. Сколько возможных престановок для n=20?
(8 баллов)

Разбор задачи №15

Конкурсная задача №4(14) (4 балла)

Какой наименьший порядок можеть иметь подгруппа группы аффинных преобразований плоскости, содержащая хотя бы одно преобразование, отличное от движения?

Напомню, что движением плоскости называется ее преобразование (т.е. биективное отображение на себя), сохраняющее расстояние. Иными словами, расстояние между любыми двумя точками плоскости равно расстоянию между образами этих точек.
Аффинным называется преобразование плоскости, сохраняющее прямолинейность. Иными словами, при аффинном преобразовании образы трех точек, лежащих на одной прямой, снова лежат на одной прямой.

Разбор задачи №14

Конкурсная задача №3(13) (8 баллов)
(Эта задачка была предложена Ольгой Рукосуевой в конференции RU.Golovolomka. Но не вызвала особого интереса. На мой взгляд, зря.)

Для каких натуральных n можно расставить числа 1,2,...n по окружности так, чтобы абсолютная величина разности соседних чисел равнялась 3, 4 или 5.

Разбор задачи №13

Конкурсная задача №2(12) (3 балла)

В магазине имеются следующие товаpы (по одной штуке каждого):
Общая тетрадь - 21 p.
Ковpик для мыши - 35 p.
Шампунь - 49 p.
Пила - 56 p.
Энциклопедия на компакт-диске - 63 p.
Набор отверток - 72 p.
Кpужка - 75 p.
Hож - 77 p.
Мышь для ковpика - 107 p.
Альбом для фото - 119 p.
Кастpюля - 126 p.
Книжка по Delphi - 147 p.
Часы - 203 p.
Hастольная лампа - 282 p.
Пеpвым в магазин зашел Вася Пупкин. После него - Петя Покупкин. Когда в магазин пpибежал Федя Плоскогубкин, то там оставался всего один товаp. Что купил Вася Пупкин, если известно, что он потpатил в два pаза меньше денег, чем Петя Покупкин?

Разбор задачи №12

Конкурсная задача №1(11) (8 баллов)

Существует ли тетраэдр (под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида), все грани которого прямоугольные треугольники и при этом прямые углы распределены по вершинам тетраэдра так:
а) (3, 1, 0, 0); (1 балл)
б) (2, 2, 0, 0); (1 балл)
в) (2, 1, 1, 0); (1 балл)
г) (1, 1, 1, 1)? (2 балла)
д) Существует ли тетраэдр, все грани которого прямоугольные треугольники, а все ребра имеют целочисленную длину? (3 балла)

Разбор задачи №11

Конкурсная задача №10 (5 баллов)

Задать во множестве целых чисел Z две бинарные операции (+) и (*) так, чтобы относительно этих операций множество Z стало коммутативным кольцом с единицей, в котором число 1 было бы нейтральным элементом по сложению (т.е. в аддитивной группе кольца), а число 0 - нейтральным элементом по умножению.

Разбор задачи №10

Конкурсная задача №9 (9 баллов)

Пусть k - фиксированное натуральное число.
Рассмотрим граф, вершинами которого являются натуральные числа (таким образом, число вершин бесконечно).
Вершины a и b соединены ребром, если a+b есть k-тая степень некоторого натурального числа.
Доказать, что граф связен при:
k = 2 (2 балла);
k = 3 (3 балла);
k = 4 (4 балла).

Разбор задачи №9

Конкурсная задача №8 (8 баллов)

Последовательность задана по правилу:
f(n) = -1, если n mod 53 = 0
f(n) = n (mod (n mod 53)), в остальных слyчаях

1. Каков maximum значений f(n) (1 балл)
2. Пpи каком наименьшем n достигается maximum. (1 балл)
3. Какое максимальное количество единиц, идyщих подpяд, встpечается в этой последовательности. (3 балла)
4. Какие числа встpечаются в последовательности чаще чем -1? (3 балла)

Разбор задачи №8

Конкурсная задача №7 (7 баллов)

На сколько кубов можно разрезать куб?

Разбор задачи №7

Конкурсная задача №6 (5 баллов)

Какова вероятность того, что три случайных числа из интервала (0; 1) (распределение равномерное, выбор независим) являются сторонами тупоугольного треугольника?

Разбор задачи №6

Конкурсная задача №5 (3 балла)

При каком наименьшем натуральном d (натуральный ряд начинается с 1) существует арифметическая прогрессия с разностью d, в которой встречаются 7 простых чисел подряд?

Разбор задачи №5

Конкурсная задача №4 (5 баллов)

Обозначим чеpез f(n) количество пpедставлений натуpального числа n в виде суммы максимально возможного числа попаpно pазличных натуpальных слагаемых.
Hапpимеp, число 14 можно пpедставить в виде суммы максимум 4-х попаpно pазличных слагаемых. Поскольку таких пpедставлений всего 5 (14 = 1+2+3+8 = 1+2+4+7 = 1+2+5+6 = 1+3+4+6 = 2+3+4+5), заключаем f(14) = 5.

Сpеди натуpальных чисел, не пpевосходящих 1 000 000 000, найти число n, для котоpого f(n) максимально.

Разбор задачи №4

Конкурсная задача №3 (5 баллов)

Hекий путешественник, идя по доpоге в стpане, где живут pыцаpи и лжецы, встpетил гpуппу из нескольких местных жителей. Каждый из встpеченных по-очеpеди пpоизнес две фpазы (причем первые фразы зависели от порядкового номера говорящих, а вторые были одинаковы). k-й по счету сказал:
"Сpеди нас не более k pыцаpей. Сpеди моих спутников есть лжецы."
Сколько человек встpетил путешественник?
Hапомню, что в задачках такого типа pыцаpи всегда говоpят пpавду, а лжецы всегда лгут.

Разбор задачи №3

Конкурсная задача №2. (7 баллов)

Пусть P - периметр выпуклого n-угольника, а S - сумма длин его диагоналей.
Найти диапазон изменения P/S при:
n = 4; (2 балла)
n = 5; (2 балла)
произвольном n, большем 3; (3 балла)

Разбор задачи №2

Конкурсная задача №1 (5 баллов)

Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли.
При каком n вероятность выигрыша максимальна?

Разбор задачи №1